El quehacer matemático es una actividad estructurante y organizadora (matematización) que está al alcance de todos los seres humanos, de allí la premisa de una matemática para todos. (Freudenthal 1973, 1991)

domingo, 22 de diciembre de 2013

EL MUNDIAL DE FÚTBOL Y LA MATEMÁTICA

Por Adrián Paenza en la contratapa de Página/12 
Ya está el sorteo. Ya se conocen los rivales. Argentina jugará en la primera fase contra Irán, Bosnia-Herzegovina y Nigeria. Se supone que el grupo es “accesible” aunque, por supuesto, después hay que jugar los partidos. Es muy poco probable que el seleccionado no se clasifique para la segunda ronda, pero el otro día un amigo me hizo una pregunta que me lleva a escribir este artículo y trasladarle la pregunta a usted. De paso, permite entrenar la capacidad para pensar. Acá va.
Si cuando termina la serie inicial se sabe que Nigeria ganó “exactamente” dos partidos, Bosnia empató “exactamente” dos partidos e Irán perdió “exactamente” dos partidos, ¿puede Argentina salir campeona del grupo sin compañía? Y si pudiera, ¿a qué países les tuvo que haber ganado?
No todo el mundo tiene por qué saber cómo se compite en la fase inicial de un campeonato del mundo, pero cada uno de los cuatro países de cada grupo enfrenta a los otros tres. Cada partido ganado otorga tres puntos, por partido empatado la recompensa es un punto y nada por partido perdido.
¿Podría darse el caso entonces de que Argentina ganara el cuadrangular en soledad? Y en ese caso, ¿cuáles y a quiénes tuvo que haberles ganado?
Ahora le toca a usted.

Respuesta

Uno tiene la tentación de decir que bastaría con que Argentina gane los tres partidos y listo. Eso implicaría –obviamente– que Argentina gane el grupo en soledad. Pero eso violaría las condiciones iniciales del problema. Piense conmigo: como Nigeria tiene que ganar dos partidos, pero debería perder con Argentina, entonces debería ganarle a Irán y a Bosnia. Y Argentina, al haber ganado sus tres partidos, también tendría que haberle ganado a Bosnia. Pero si ése fuera el caso, Bosnia no podría haber empatado dos partidos. O sea, la conclusión es que si uno quiere que se verifiquen las condiciones pedidas, Argentina no puede ganar los tres partidos.
Ahora analicemos si Argentina puede perder algún partido y que se cumplan las condiciones pedidas. Para que Argentina gane el grupo en forma absoluta (pero respetando las restricciones escritas más arriba), tiene que haber ganado por lo menos dos partidos. Si no, no alcanzaría a igualar a Nigeria, que sabemos que ganó dos. Pero por otro lado, si perdiera alguno, entonces a lo mejor que podría aspirar es a empatar el primer puesto con Nigeria (suponiendo que ganara los otros dos).
O sea, de todos estos datos se deduce que Argentina,
a) No puede ganar los tres partidos.
b) No puede perder ningún partido.
La única alternativa que queda es que Argentina gane dos y empate uno. De acuerdo, pero, ¿a quiénes les tiene que ganar y con quién debería empatar? ¿No le dan ganas de pensar a usted?
Sigo yo. La clave está –creo– en el partido Argentina-Nigeria. Por un lado, sabemos que los dos países ganaron por lo menos dos partidos. Si empataran en este partido entre ambos, terminarían ganando el grupo los dos, y eso no es lo que queremos, porque Argentina tiene que ganar el grupo en soledad. Y esto es importante, porque se deduce que entre ellos no pueden empatar.
Y ni hablar de que Nigeria le gane a Argentina, porque entonces Argentina tampoco podría salir primera absoluta del grupo. Entonces, todas estas reflexiones sirven para concluir que Argentina tiene que ganar el partido contra Nigeria.
A partir de este dato, analicemos el resto. Por ahora, sabemos lo siguiente:
1) Argentina le ganó a Nigeria, y tuvo que haber ganado o bien a Irán o bien a Bosnia, pero no a los dos (ya que no puede ganar los tres partidos).
2) Nigeria perdió con Argentina, pero tuvo que haberle ganado a Irán y a Bosnia.
3) Como se sabe que Bosnia empató exactamente dos partidos, al haber perdido con Nigeria, tuvo que haber empatado los otros dos: con Irán, sí, pero también con Argentina. Y eso termina respondiendo lo que no sabíamos en el punto (1).
4) Por último, Irán entonces empató con Bosnia, pero como perdió dos partidos exactamente, tuvieron que ser contra Argentina y Nigeria.
Ahora un cuadro con un resumen de lo que tuvo que haber pasado
ArgentinaBosniaIránNigeria
ArgentinaX133
Bosnia1X10
Irán01X0
Nigeria033X
Esto concluye el análisis entonces. La respuesta es que sí, que se puede: Argentina puede ganar invicta el grupo y ganarlo en soledad aunque haya un equipo (Nigeria) que gane dos partidos, otro país (Bosnia) que empate dos de sus partidos y el último (Irán) que pierda exactamente dos.
Ah, y esto es hacer matemática también.

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